Limite le long d’un chemin

Proposition

Soit $f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}$ définie au voisinage de $x_0\in{\Bbb R}^n$ sauf peut-être en $x_0$
Si $f$ admet une limite $\ell$ en $x_0$, alors la restriction de $f$ à toute courbe passant par $x_0$ admet une limite en $x_0$ qui est $\ell$

Soit $f:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}$ définie au voisinage de $x_0\in{\Bbb R}^n$ sauf peut-être en $x_0$
Si les restrictions de $f$ à deux courbes passant par $x_0$ ont des limites différentes, alors $f$ n'a pas de limite en $x_0$

(Limite, Voisinage, Restriction, Courbe - Courbe paramétrée)

Exemples

Consigne: Soit $$f:\begin{align}{\Bbb R}^2\setminus\{(0,0)\}&\longrightarrow{\Bbb R}\\ (x,y)&\longmapsto\frac{xy}{x^2+y^2}\end{align}$$
$f$ a-t-elle une limite en $(0,0)$ ?

Prendre plusieurs courbes $\gamma(t)$ et calculer $f_0\gamma(t)$. Puisque l'on cherche à montrer que $f$ n'a pas de limite en $(0,0)$, on doit trouver différentes valeurs pour $\displaystyle\lim_0f_0\gamma$
Montrons que $f$ n'a pas de limite
1. Soit $\gamma_1(t)=(t,0)$. Alors $$f_0\gamma_1(t)=f((t,0))=\frac{t\cdot0}{t^2+0^2}=0\implies f_0\gamma_1(t)\underset{t\to0}\longrightarrow0$$
2. Soit $\gamma_2(t)=(t,t)$. Alors $$f_0\gamma_2(t)=f((t,t))=\frac{t\cdot t}{t^2+t^2}=\frac12\implies f_0\gamma_2(t)\underset{t\to0}\longrightarrow\frac12$$

$f$ n'a donc pas de limite en $(0,0)$

(Courbe - Courbe paramétrée)

Math'φsics

Formulaire de report

Proposition

Exemples